Inversa de una Matriz usando Menores, Cofactores y Adjuntos

(Nota: consulta también la Inversa de una Matriz por Operaciones de Filas y la Calculadora de Matrices.)

Podemos calcular la Inversa de una Matriz de la siguiente manera:

  • Paso 1: calcular la Matriz de Menores,
  • Paso 2: luego convertir eso en la Matriz de Cofactores,
  • Paso 3: luego la Adjugada, y
  • Paso 4: multiplicar eso por 1/Determinante.

¡Pero se explica mejor trabajando con un ejemplo!

Ejemplo: encontrar el Inverso de A:

matriz A

Necesita 4 pasos. Es todo aritmética simple pero hay mucha, así que intenta no equivocarte

Paso 1: Matriz de Menores

El primer paso es crear una “Matriz de Menores”. Este paso es el que más cálculos tiene.

Para cada elemento de la matriz:

  • ignorar los valores de la fila y columna actuales
  • calcular el determinante de los valores restantes

Poner esos determinantes en una matriz (la “Matriz de Menores”)

Determinante

Para una matriz de 2×2 (2 filas y 2 columnas) el determinante es fácil: ad-bc

Piensa en una cruz:

  • Azul significa positivo (+ad),
  • Rojo significa negativo (-bc)
Una matriz

(Se hace más difícil para una matriz de 3×3, etc)

Los cálculos

Aquí tienes los dos primeros, y los dos últimos, cálculos de la “Matriz de Menores” (fíjate cómo ignoro los valores de la fila y las columnas actuales, y calculo el determinante usando los valores restantes):

pasos del cálculo de la matriz de menores

Y aquí está el cálculo de la matriz completa:

resultado de la matriz de menores

Paso 2: Matriz de cofactores

tablero de más y menos

¡Esto es fácil! Basta con aplicar un “damero” de menos a la “Matriz de Menores”. Es decir, hay que cambiar el signo de las celdas alternas, así:

matriz de cofactores

Paso 3: Adjuntar (también llamado Adjoint)

Ahora “Transponemos” todos los elementos de la matriz anterior…. en otras palabras intercambiar sus posiciones sobre la diagonal (la diagonal se mantiene igual):

matriz adjunta

Paso 4: Multiplicar por 1/Determinante

Ahora encuentra el determinante de la matriz original. Esto no es demasiado difícil, porque ya calculamos los determinantes de las partes más pequeñas cuando hicimos “Matriz de Menores”.

Una Matriz

En la práctica podemos simplemente multiplicar cada uno de los elementos de la fila superior por el cofactor de la misma ubicación:

Elementos de la fila superior: 3, 0, 2
Cofactores de la fila superior: 2, -2, 2

Determinante = 3×2 + 0×(-2) + 2×2 = 10

(Sólo por diversión: prueba esto para cualquier otra fila o columna, también deberían obtener 10.)

Y ahora multiplica la Adjunta por 1/Determinante:

la matriz adjunta por 1/det da la inversa

¡Y ya hemos terminado!

Compara esta respuesta con la que obtuvimos en Inversa de una matriz usando operaciones elementales de filas. ¿Es lo mismo? Qué método prefieres?

Matrices más grandes

Son exactamente los mismos pasos para matrices más grandes (como una de 4×4, 5×5, etc), pero ¡vaya! hay mucho cálculo en juego.

Para una Matriz de 4×4 tenemos que calcular 16 determinantes de 3×3. Así que suele ser más fácil utilizar ordenadores (como la calculadora de matrices.)

Conclusión

  • Para cada elemento, calcula el determinante de los valores que no están en la fila o columna, para hacer la Matriz de Menores
  • Aplica un damero de mínimos para hacer la Matriz de Cofactores
  • Transpón para hacer la Adjunta
  • Multiplica por 1/Determinante para hacer la Inversa

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