Inverse d’une matrice à l’aide des mineurs, des cofacteurs et de l’adjuvant

(Note : consultez également l’inverse de la matrice par les opérations de rang et la calculatrice de matrice.)

Nous pouvons calculer l’inverse d’une matrice en :

  • Étape 1 : calculer la matrice des mineurs,
  • Étape 2 : puis transformer cela en matrice des cofacteurs,
  • Étape 3 : puis l’adjugé, et
  • Étape 4 : multiplier cela par 1/déterminant.

Mais c’est mieux expliqué en travaillant sur un exemple !

Exemple : trouver l’inverse de A:

matrice A

Il faut 4 étapes. C’est de l’arithmétique simple mais il y en a beaucoup, alors essayez de ne pas faire d’erreur !

Etape 1 : Matrice des mineurs

La première étape consiste à créer une ” Matrice des mineurs “. C’est cette étape qui comporte le plus de calculs.

Pour chaque élément de la matrice :

  • ignorer les valeurs sur la ligne et la colonne actuelles
  • calculer le déterminant des valeurs restantes

Mettre ces déterminants dans une matrice (la “Matrice des mineurs”)

Déterminant

Pour une matrice 2×2 (2 lignes et 2 colonnes) le déterminant est facile : ad-bc

Pensez à une croix :

  • Bleu signifie positif (+ad),
  • Rouge signifie négatif (-bc)
Une matrice

(Cela devient plus difficile pour une matrice 3×3, etc)

Les calculs

Voici les deux premiers, et les deux derniers, calculs de la “matrice des mineurs” (remarquez comment j’ignore les valeurs de la ligne et des colonnes actuelles, et calcule le déterminant en utilisant les valeurs restantes) :

matrice des mineurs étapes de calcul

Et voici le calcul pour la matrice entière:

matrice des mineurs résultat

Etape 2 : Matrice des cofacteurs

tableau de contrôle des plus et des moins

C’est facile ! Il suffit d’appliquer un ” damier ” de moins à la ” matrice des mineurs “. En d’autres termes, nous devons changer le signe de cellules alternées, comme ceci :

matrice des cofacteurs

Étape 3 : Adjuger (aussi appelé Adjoint)

Maintenant “Transposer” tous les éléments de la matrice précédente.En d’autres termes, permutez leurs positions sur la diagonale (la diagonale reste la même):

matrice adjointe

Étape 4 : Multiplication par 1/déterminant

Prenez maintenant le déterminant de la matrice originale. Ce n’est pas trop difficile, car nous avons déjà calculé les déterminants des plus petites parties lorsque nous avons fait “Matrice des mineurs”.

Une matrice

En pratique, nous pouvons simplement multiplier chacun des éléments de la rangée supérieure par le cofacteur pour le même emplacement:

Éléments de la rangée supérieure : 3, 0, 2
Cofacteurs de la rangée supérieure : 2, -2, 2

Déterminant = 3×2 + 0×(-2) + 2×2 = 10

(Juste pour le plaisir : essayez ceci pour n’importe quelle autre rangée ou colonne, elles devraient également obtenir 10.)

Et maintenant, multipliez l’adjugé par 1/déterminant:

matrice adjugée par 1/det donne l'inverse

Et nous avons terminé!

Comparez cette réponse avec celle que nous avons obtenue sur Inverse d’une matrice en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes. Est-ce que c’est la même chose ? Quelle méthode préférez-vous ?

Les grandes matrices

Ce sont exactement les mêmes étapes pour les grandes matrices (comme une 4×4, 5×5, etc), mais wow ! il y a beaucoup de calculs à faire.

Pour une matrice 4×4, nous devons calculer 16 déterminants 3×3. Il est donc souvent plus facile d’utiliser les ordinateurs (comme la calculatrice matricielle.)

Conclusion

  • Pour chaque élément, calculer le déterminant des valeurs qui ne sont pas sur la ligne ou la colonne, pour faire la Matrice des Mineurs
  • Appliquer un damier de moins pour faire la Matrice des Cofacteurs
  • Transposer pour faire l’Adjugé
  • Multiplier par 1/Déterminant pour faire l’Inverse

.

Leave a Comment

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *