Inverso di una matrice usando Minori, Cofattori e Adjugato

(Nota: controlla anche l’Inverso di una matrice per operazioni di riga e la Calcolatrice di matrici.)

Possiamo calcolare l’inverso di una matrice:

  • Passo 1: calcolando la Matrice dei Minori,
  • Passo 2: poi trasformarla nella Matrice dei Cofattori,
  • Passo 3: poi l’Aggregato, e
  • Passo 4: moltiplicarlo per 1/Determinante.

Ma è meglio spiegarlo con un esempio!

Esempio: trovare l’inverso di A:

matrice A

Ci vogliono 4 passi. È tutta semplice aritmetica ma ce n’è molta, quindi cerca di non fare errori!

Passo 1: Matrice dei Minori

Il primo passo è creare una “Matrice dei Minori”. Questo passo ha il maggior numero di calcoli.

Per ogni elemento della matrice:

  • ignora i valori sulla riga e sulla colonna corrente
  • calcola il determinante dei valori rimanenti

Metti questi determinanti in una matrice (la “Matrice dei Minori”)

Determinante

Per una matrice 2×2 (2 righe e 2 colonne) il determinante è facile: ad-bc

Pensa a una croce:

  • Blu significa positivo (+ad),
  • Rosso significa negativo (-bc)
Una matrice

(diventa più difficile per una matrice 3×3, etc)

I calcoli

Qui ci sono i primi due, e gli ultimi due, calcoli della “Matrice dei Minori” (notate come ignoro i valori nella riga e nelle colonne correnti, e calcolo il determinante usando i valori rimanenti):

passi di calcolo della matrice dei minori

Ed ecco il calcolo dell’intera matrice:

risultato della matrice dei minori

Passo 2: Matrice dei Cofattori

scheda di più e meno

Questo è facile! Basta applicare una “scacchiera” di meno alla “Matrice dei Minori”. In altre parole, dobbiamo cambiare il segno delle celle alternate, così:

matrice dei cofattori

Step 3: Adjugate (chiamato anche Adjoint)

Ora “Trasponi” tutti gli elementi della matrice precedente… in altre parole scambiare le loro posizioni sulla diagonale (la diagonale rimane la stessa):

matrice coniugata

Step 4: Moltiplicare per 1/Determinante

Ora trova il determinante della matrice originale. Questo non è troppo difficile, perché abbiamo già calcolato i determinanti delle parti più piccole quando abbiamo fatto “Matrice dei Minori”.

Una matrice

In pratica possiamo semplicemente moltiplicare ciascuno degli elementi della riga superiore per il cofattore della stessa posizione:

Elementi della riga superiore: 3, 0, 2
Cofattori per la riga superiore: 2, -2, 2

Determinante = 3×2 + 0×(-2) + 2×2 = 10

(Per divertimento: prova questo per qualsiasi altra riga o colonna, anche loro dovrebbero ottenere 10.)

E ora moltiplicate l’Adjugato per 1/Determinante:

matrice adjugata per 1/det dà l'inverso

E abbiamo finito!

Confrontate questa risposta con quella che abbiamo ottenuto su Inverso di una matrice usando operazioni elementari di riga. È la stessa? Quale metodo preferisci?

Matrici più grandi

Sono esattamente gli stessi passi per matrici più grandi (come una 4×4, 5×5, ecc.), ma wow! ci sono un sacco di calcoli coinvolti.

Per una matrice 4×4 dobbiamo calcolare 16 determinanti 3×3. Quindi è spesso più facile usare i computer (come il Matrix Calculator.)

Conclusione

  • Per ogni elemento, calcola il determinante dei valori che non si trovano sulla riga o sulla colonna, per fare la Matrice dei Minori
  • Applica una scacchiera di minus per fare la Matrice dei Cofattori
  • Trasponi per fare l’Adjugato
  • Moltiplica per 1/Determinante per fare l’Inverso

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