Inverse van een Matrix met behulp van Minoren, Cofactoren en Adjugeren

(Opmerking: bekijk ook Matrix Inverse door Rij Bewerkingen en de Matrix Calculator.)

We kunnen de Inverse van een Matrix berekenen door:

  • Stap 1: bereken de Matrix van Minoren,
  • Stap 2: maak daar dan de Matrix van Cofactoren van,
  • Stap 3: dan de Adjugaat, en
  • Stap 4: vermenigvuldig die met 1/Determinant.

Maar het is het beste uit te leggen aan de hand van een voorbeeld!

Voorbeeld: vind de Inverse van A:

matrix A

Het vergt 4 stappen. Het is allemaal eenvoudig rekenwerk, maar er komt veel bij kijken, dus probeer geen fouten te maken!

Stap 1: Matrix van Minoren

De eerste stap is het maken van een “Matrix van Minoren”. Deze stap bevat de meeste berekeningen.

Voor elk element van de matrix:

  • negeer de waarden op de huidige rij en kolom
  • bereken de determinant van de overgebleven waarden

Zet die determinanten in een matrix (de “Matrix van Minoren”)

Determinant

Voor een 2×2 matrix (2 rijen en 2 kolommen) is de determinant eenvoudig: ad-bc

Denk aan een kruis:

  • Blauw betekent positief (+ad),
  • Rood betekent negatief (-bc)
Een matrix

(Het wordt moeilijker voor een 3×3 matrix, etc)

De berekeningen

Hier volgen de eerste twee, en de laatste twee, berekeningen van de “Matrix van de minnen” (merk op hoe ik de waarden in de huidige rij en kolommen negeer, en de determinant bereken met de resterende waarden):

matrix van minoren berekeningsstappen

En hier is de berekening voor de hele matrix:

matrix van minoren resultaat

Step 2: Matrix van Cofactoren

checkerboard van plus en min

Dit is eenvoudig! Pas gewoon een “dambord” van minnen toe op de “Matrix van minnen”. Met andere woorden, we moeten het teken van afwisselende cellen veranderen, zoals dit:

matrix van cofactoren

Stap 3: Adjugeren (ook wel Adjoint genoemd)

Nu alle elementen van de vorige matrix “Transponeren”…. met andere woorden verwissel hun posities over de diagonaal (de diagonaal blijft hetzelfde):

matrix adjugeren

Stap 4: Vermenigvuldig met 1/Determinant

Nu vindt u de determinant van de oorspronkelijke matrix. Dit is niet zo moeilijk, want we hebben de determinanten van de kleinere delen al berekend toen we “Matrix van de Minoren” deden.

Een matrix

In de praktijk kunnen we gewoon elk van de elementen van de bovenste rij vermenigvuldigen met de cofactor voor dezelfde plaats:

Elementen van de bovenste rij: 3, 0, 2
Cofactoren voor bovenste rij: 2, -2, 2

Determinant = 3×2 + 0×(-2) + 2×2 = 10

(Voor de lol: probeer dit voor elke andere rij of kolom, die moeten ook 10 krijgen.)

En vermenigvuldig nu de Adjugaat met 1/Determinant:

matrix adjugaat met 1/det geeft inverse

En we zijn klaar!

Vergelijk dit antwoord met het antwoord dat we kregen op Inverse van een matrix met behulp van Elementaire rijbewerkingen. Is het hetzelfde? Welke methode heeft je voorkeur?

Grote matrices

Het zijn precies dezelfde stappen voor grotere matrices (zoals een 4×4, 5×5, etc), maar wow! er komt een hoop rekenwerk bij kijken.

Voor een 4×4 Matrix moeten we 16 3×3 determinanten berekenen. Het is dus vaak makkelijker om computers te gebruiken (zoals de Matrix Calculator.)

Conclusie

  • Bereken voor elk element de determinant van de waarden die niet op de rij of kolom staan, om de Minormatrix te maken
  • Leg een dambord van minnen aan om de Cofactormatrix te maken
  • Transponeer om de Adjugaat te maken
  • Vermenigvuldig met 1/Determinant om de Inverse te maken

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *