Umkehrung einer Matrix mit Minoren, Kofaktoren und Adjugat

(Hinweis: Sehen Sie sich auch die Umkehrung der Matrix durch Zeilenoperationen und den Matrix-Rechner an.)

Wir können die Inverse einer Matrix berechnen, indem wir:

  • Schritt 1: die Matrix der Minoren berechnen,
  • Schritt 2: diese dann in die Matrix der Kofaktoren umwandeln,
  • Schritt 3: dann die Adjugierte, und
  • Schritt 4: diese mit 1/Determinante multiplizieren.

Aber am besten erklärt man es anhand eines Beispiels!

Beispiel: Finde die Inverse von A:

Matrix A

Es braucht 4 Schritte. Es ist alles einfache Arithmetik, aber es gibt eine Menge davon, also versuchen Sie, keinen Fehler zu machen!

Schritt 1: Matrix der Minoren

Der erste Schritt ist die Erstellung einer “Matrix der Minoren”. Dieser Schritt beinhaltet die meisten Berechnungen.

Für jedes Element der Matrix:

  • Ignorieren Sie die Werte der aktuellen Zeile und Spalte
  • Berechnen Sie die Determinante der verbleibenden Werte

Setzen Sie diese Determinanten in eine Matrix (die “Matrix der Minoren”)

Determinante

Für eine 2×2-Matrix (2 Zeilen und 2 Spalten) ist die Determinante einfach: ad-bc

Stellen Sie sich ein Kreuz vor:

  • Blau bedeutet positiv (+ad),
  • Rot bedeutet negativ (-bc)
Eine Matrix

(Bei einer 3×3 Matrix wird es schwieriger, usw)

Die Berechnungen

Hier sind die ersten beiden und die letzten beiden Berechnungen der “Matrix der Minoren” (beachten Sie, wie ich die Werte in der aktuellen Zeile und Spalte ignoriere und die Determinante mit den restlichen Werten berechne):

Matrix der Minoren Berechnungsschritte

Und hier ist die Berechnung für die gesamte Matrix:

Matrix Minoren Ergebnis

Schritt 2: Matrix der Kofaktoren

Schachbrett aus Plus und Minus

Das ist einfach! Wenden Sie einfach ein “Schachbrett” aus Minuswerten auf die “Matrix der Minuswerte” an. Mit anderen Worten, wir müssen das Vorzeichen von abwechselnden Zellen ändern, etwa so:

Matrix der Kofaktoren

Schritt 3: Adjugieren (auch Adjoint genannt)

Nun “transponieren” Sie alle Elemente der vorherigen Matrix…. also ihre Positionen über der Diagonale vertauschen (die Diagonale bleibt gleich):

Matrix adjugieren

Schritt 4: Multiplizieren mit 1/Determinante

Nun finden Sie die Determinante der ursprünglichen Matrix. Das ist nicht allzu schwer, denn die Determinanten der kleineren Teile haben wir bereits bei “Matrix der Minoren” berechnet.

Eine Matrix

In der Praxis können wir einfach jedes der Elemente der obersten Zeile mit dem Kofaktor für die gleiche Stelle multiplizieren:

Elemente der obersten Zeile: 3, 0, 2
Kofaktoren für die oberste Zeile: 2, -2, 2

Determinante = 3×2 + 0×(-2) + 2×2 = 10

(Nur zum Spaß: Versuchen Sie das für jede andere Zeile oder Spalte, sie sollten ebenfalls 10 erhalten.)

Und nun multiplizieren Sie die Adjugierte mit 1/Determinante:

Matrix adjugiert mit 1/det ergibt Inverse

Und wir sind fertig!

Vergleichen Sie diese Antwort mit der, die wir bei Inverse einer Matrix mit elementaren Zeilenoperationen erhalten haben. Ist es die gleiche? Welche Methode bevorzugen Sie?

Größere Matrizen

Für größere Matrizen (wie z.B. eine 4×4, 5×5, etc.) sind es genau die gleichen Schritte, aber wow! es ist eine Menge Rechenarbeit damit verbunden.

Für eine 4×4 Matrix müssen wir 16 3×3 Determinanten berechnen. Daher ist es oft einfacher, Computer zu benutzen (z. B. den Matrix-Rechner.)

Schlussfolgerung

  • Berechnen Sie für jedes Element die Determinante der Werte, die nicht in der Zeile oder Spalte stehen, um die Matrix der Minoren zu bilden
  • Wenden Sie ein Schachbrett aus Minuswerten an, um die Matrix der Kofaktoren zu bilden
  • Transponieren Sie, um das Adjugat zu bilden
  • Multiplizieren Sie mit 1/Determinante, um das Inverse zu bilden

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