Vertikale Asymptoten

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Vertikale Asymptoten sind vertikale Linien, die den Nullstellen des Nenners einer rationalen Funktion entsprechen. (Sie können auch in anderen Zusammenhängen auftreten, z. B. bei Logarithmen, aber Sie werden Asymptoten mit ziemlicher Sicherheit zuerst im Zusammenhang mit rationalen Funktionen begegnen.)

Lassen Sie uns die folgende Gleichung betrachten:

y = /

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Dies ist eine rationale Funktion. Genauer gesagt, ist dies ein Bruch. Können wir eine Null im Nenner eines Bruchs haben? Nein. Wenn ich also den Nenner des obigen Bruchs gleich Null setze und löse, sagt mir das die Werte, die x nicht sein kann:

x2 – 5x – 6 = 0

(x – 6)(x + 1) = 0

x = 6 oder -1

So kann x nicht 6 oder -1 sein, denn dann würde ich durch Null dividieren.

Schauen wir uns nun den Graphen dieser rationalen Funktion an:

Graph von y = /

Sie können sehen, wie der Graph die senkrechten Linien x = 6 und x = -1 vermeidet. Diese Vermeidung erfolgte, weil x weder gleich -1 noch gleich 6 sein kann. Mit anderen Worten: Die Tatsache, dass der Bereich der Funktion eingeschränkt ist, spiegelt sich im Graphen der Funktion wider.

Wir zeichnen die vertikalen Asymptoten als gestrichelte Linien, um uns daran zu erinnern, dort nicht zu graphen, etwa so:

Graph von y = / mit gestrichelten Asymptoten

Es ist in Ordnung, dass der Graph an den Seiten der Asymptote auf der linken Seite hochzusteigen scheint. Das ist normal. Solange Sie den Graphen nicht so zeichnen, dass er die vertikale Asymptote kreuzt, ist alles in Ordnung.

In der Tat ist dieser Aspekt des “Hochkletterns an der Seite” ein weiterer Teil der Definition einer vertikalen Asymptote. Wir werden später ein Beispiel sehen, bei dem eine Null im Nenner nicht dazu führt, dass der Graph an der Seite einer vertikalen Linie hoch- oder runterklettert. Aber für jetzt und in den meisten Fällen führen Nullen im Nenner zu vertikalen gestrichelten Linien und Graphen, die sich so nah wie möglich an diese vertikalen Linien anschmiegen.

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Lassen Sie uns diese Beziehung zwischen dem Bereich der Funktion und ihren vertikalen Asymptoten ein wenig üben.

  • Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die vertikale(n) Asymptote(n), falls vorhanden, der folgenden Funktion:

y = /

Der Wertebereich ist die Menge aller x-Werte, die ich verwenden darf. Die einzigen Werte, die unzulässig sein könnten, sind diejenigen, die mir eine Null im Nenner liefern. Also setze ich den Nenner gleich Null und löse.

x2 + 2x – 8 = 0

(x + 4)(x – 2) = 0

x = -4 oder x = 2

Da ich keine Null im Nenner haben kann, kann ich auch nicht x = -4 oder x = 2 im Bereich haben. Das sagt mir, dass die vertikalen Asymptoten (die mir sagen, wohin der Graph nicht gehen kann) bei den Werten x = -4 oder x = 2 liegen werden.

Domäne: x ≠ -4, 2

vertikale Asymptoten: x = -4, 2

Beachten Sie, dass die Domäne und die vertikalen Asymptoten “gegensätzlich” sind. Die vertikalen Asymptoten sind bei -4 und 2, und die Domäne ist überall außer -4 und 2. Diese Beziehung ist immer gültig.

  • Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die vertikale(n) Asymptote(n), falls vorhanden, der folgenden Funktion:

y = /

Um die Domäne und die vertikalen Asymptoten zu finden, setze ich den Nenner gleich Null und löse. Die Lösungen werden die Werte sein, die im Bereich nicht erlaubt sind, und werden auch die vertikalen Asymptoten sein.

x2 + 9 = 0

x2 = -9

Oops! Das ist keine Lösung! Es gibt also keine Nullen im Nenner. Da es keine Nullen im Nenner gibt, gibt es auch keine verbotenen x-Werte, und der Bereich ist “alle x”. Da es auch keine verbotenen Werte im Bereich gibt, gibt es auch keine vertikalen Asymptoten.

Bereich: alle x

vertikale Asymptoten: Keine

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Beachten Sie noch einmal, dass der Bereich und die vertikalen Asymptoten “entgegengesetzt” zueinander sind. Die Domäne ist “alle x-Werte” oder “alle reellen Zahlen” oder “überall” (dies sind alles gebräuchliche Arten, das Gleiche zu sagen), während die vertikalen Asymptoten “keine” sind.

  • Bestimmen Sie den Bereich und die vertikale(n) Asymptote(n), falls vorhanden, der folgenden Funktion:

y = /

Prüfen Sie die Nullstellen des Nenners:

x2 + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

x = -3 oder x = -2

Da ich nicht durch Null dividieren kann, habe ich vertikale Asymptoten bei x = -3 und x = -2, und der Bereich sind alle anderen x-Werte.

Bereich: x ≠ -3, -2

vertikale Asymptoten: x = -3, -2

Bei der grafischen Darstellung ist zu beachten, dass vertikale Asymptoten für x-Werte stehen, die nicht erlaubt sind. Vertikale Asymptoten sind heiliger Boden. Niemals, bei Todesstrafe, dürfen Sie eine vertikale Asymptote überschreiten. Versuchen Sie es gar nicht erst!

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